Julio y Verne

Cuando volvía a casa me encontré con mis dos grandes amigos Julio y Verne, viejos fanáticos de todo lo que sea números, juegos y enigmas.
Apenas los vi, corté diez papelitos en los que anoté un número distinto entre el uno y el diez.
Les di dos a cada uno y entonces se produjo el siguiente diálogo:
Julio: La suma de mis dos números es 7.
Verne: Entonces ya se cuáles son tus números.
Julio: Pero yo no se cuáles son los tuyos.
Verne: ¿Y si te digo que el producto de los dos míos es igual al producto de los dos tuyos?
Julio: Ahora si.
¡Un momento!, protesté yo. Si lo cuento así, mis lectores no podrán resolverlo.
Verne: Deciles que mis números suman menos que los de Julio

Y sin agregar palabra se fueron y me dejaron pensando

¿Qué números tenía cada uno?

Update:
La solución correcta fue enviada por Michel.
Si alguno se anima, sería lindo que cuente el razonamiento que siguió para resolverlo.

Update 2:
hdanniel, Michel y Marcelo nos cuentan como razonaron para resolverlo. Es muy instructivo leerlos.