Julio y Verne II

Cómo me había quedado medio enojado porque la vez anterior me dejaron hablando solo, preparé unos seis papelitos con un número distinto del uno al seis en cada uno y me fui a buscarlos.

Cuando los encontré, se sonrieron como si me hubieran estado esperando. Un poco nervioso, ni los saludé y directamente les pedí que eligieran tres y me los devolvieran sin mirarlos.
Anoté su suma en un papel que le di a Julio y el resultado del producto en otro que le di a Verne.
Entonces comenzaron a hablar entre ellos:
Julio: No puedo deducir que números son. (Sonrisa de Markelo)
Verne: Yo tampoco puedo sacarlos. (Gran sonrisa de Markelo)
Julio: No. La verdad que no se. (Enorme sonrisa de Markelo)
Verne: Entonces ya se cuáles son. (¡¡¡ !!!)
Julio: Me faltaría un dato.
Verne: ¿Y si te digo que el producto es el mayor de los que estás pensando?
Julio: Ahora si. ¿Que te pasa Markelo? estás un poco pálido. ¿por qué mejor no te vas a tu casa a descansar un poco?

Y yo solo junté fuerzas para venir hasta aquí y preguntarles:

¿Cuáles eran los tres números y cómo %#@!$ los descubrieron?

Update:
Atención: Si alguien lo estaba pensando, tuve que modificar la última frase de Verne, ya que la anterior estaba equivocada.

Update:
La solución y los jugosos razonamientos a cargo de Michel y CarCar.