A caballo por el marco

Es muy fácil recorrer con un caballo de ajedrez un marco de 3×3 como se muestra en la figura.En cambio, para recorrer completamente un marco de 4×4 no nos queda más remedio que pasar por algunas casillas fuera del marco.
En el tablero de la izquierda pasé por 5 casillas externas. Si sumamos los números que quedaron allí tenemos un total de 51. Ya se van imaginando por donde va la cosa. En el tablero de la derecha en cambio , las casillas externas al marco suman solo 41. ¿Se podrá lograr un valor menor? Si.
Encuentren un recorrido que recorra completamente el marco en el que las casillas externas al mismo sumen lo mínimo posible.

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Les dejo también un recorrido en 5×5
Las casillas externas suman 89. Encuentren un recorrido que sume menos.
Prueben también con marcos de 6×6, 7×7 y 8×8.
Hasta aquí llegué yo, aunque quizá alguno quiera llegar más lejos.